初三数学因式分解法(2)

【来源：易教网 更新时间：2026-07-12】

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

1、运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，

例如：

（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。

下面再补充几个常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数。

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式。

例1 分解因式：a3+b3+c3-3abc。

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）。

分析 我们已经知道公式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

的正确性，现将此公式变形为a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）。

这个公式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导。

解 原式=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc=[（a+b）3+c3]-3ab（a+b+c）

=（a+b+c）[（a+b）2-c（a+b）+c2]-3ab（a+b+c）=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）。

2、拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算。在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零。在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。

拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。

例2 分解因式：x3-9x+8。

分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧。

解法1 将常数项8拆成-1+9。

原式=x3-9x-1+9

=（x3-1）-9x+9

=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）。

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x。

原式=x3-x-8x+8

=（x3-x）+（-8x+8）

=x（x+1）（x-1）-8（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）。

解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3。

原式=9x3-8x3-9x+8

=（9x3-9x）+（-8x3+8）

=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）

=（x-1）（x2+x-8）。

解法4 添加两项-x2+x2。

原式=x3-9x+8

=x3-x2+x2-9x+8

=x2（x-1）+（x-8）（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）。

说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种。

3、换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰。例3 分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）-12。

分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难。我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了。

解 设x2+x=y，则

原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10

=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）

=（x-1）（x+2）（x2+x+5）。

说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试。

4、双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法。对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式。

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3。我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3），

可以看作是关于x的二次三项式。

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 （x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2；（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；

（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3。这就是所谓的双十字相乘法。

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；

（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx。

例4 分解因式：

x2-3xy-10y2+x+9y-2 解：

原式=（x-5y+2）（x+2y-1）

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，

例如： （1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。

下面再补充几个常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数。

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，

例如： （1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。

下面再补充几个常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；